คณิตศาสตร์มัธยมปลายกับการต่อยอดในฟิสิกส์

ยกมาจากที่เขียนไว้ใน Facebook ในกลุ่มปฏิวัติการศึกษาไทยว่าด้วยการคณิตศาสตร์ที่เราๆท่านๆเรียนกันตอนม.ปลายมันไปถึงไหนในฟิสิกส์ ไม่ได้หมายความว่าถ้าไม่ใส่ใจตอนม.ปลายแล้วจะไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์ระดับมหาวิทยาลัยได้ (เพราะเราก็เป็นอย่างนั้น คือตกเลขกับฟิสิกส์ตอนม.ปลาย) เราเห็นด้วยกับคำวิจารณ์ที่ว่าหลักสูตร ม.ปลายก็คือการเอาบทแรกๆของหนังสือระดับมหาวิทยาลัยมาขยาย แต่หนังสือระดับมหาวิทยาลัยมันมีบทหลังๆด้วยซึ่งทำให้มันสมบูรณ์ ในขณะที่หลักสูตร ม.ปลายไม่มีตรงนั้น ซึ่งทำให้นักเรียนไม่เห็นความเป็นเอกภาพของวิชา (และอาจารย์ม.ปลายก็อาจจะไม่รู้บทหลังๆนั่นด้วยซ้ำ)

format คือกำหนดหัวข้อมาแล้ว แล้วเราเขียนอธิบาย แต่หัวข้อที่สำคัญซึ่งไม่มีด้านล่างคือการนับ หรือที่เรียกว่าการจัดเรียง ซึ่งใช้คำนวณความน่าจะเป็นและนับการจัดเรียงที่เป็นไปได้ของอนุภาค(เป็น boson หรือ fermion หรืออื่นๆที่นักฟิสิกส์ต้องรุ้)

1. เซต

2. จำนวนจริง

3. ตรรกศาสตร์

4. ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

5. เรขาคณิตวิเคราะห์ ภาคตัดกรวย

6. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

7. ฟังก์ชันเอ็กโพเนนเชียล ลอการิทึม

8. จำนวนเชิงซ้อน

นักฟิสิกส์และวิศวกรมักจะใช้สูตรของ Euler เพื่อเขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยเอ็กโพเนนเชียลของจำนวนเชิงซ้อนแทน เพราะมันทำงานด้วยง่ายกว่า จริงๆเอ็กโพเนนเชียลจะพื้นฐานมากกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยซ้ำ เช่น อนุกรม Fourier จริงๆเป็นอนุกรมของเอ็กโพเนนเชียล และฟิสิกส์ก็ใช้อนุกรมและการแปลง Fourier ตลอดเวลา (ดูหัวข้อแคลคูลัส)

โครงสร้างของทฤษฎีควอนตัมใช้ประโยชน์จาก vector space ของจำนวนเชิงซ้อน ประมาณว่าจะใช้ vector space ของจำนวนจริงหรือจำนวนประหลาดๆก็ได้แต่ต้องมีข้อแม้เพิ่มเติม บางอย่างที่ทำได้ใน vector space ของจำนวนเชิงซ้อนทำไม่ได้ถ้าใช้จำนวนจริง

9. เวกเตอร์

10. เมทริกซ์

เวกเตอร์กับแมทริกซ์เป็นวัตถุพื้นฐานในวิชาที่เรียกว่า linear algebra ซึ่งต้องใช้เมื่อทำการประมาณเชิงเส้น เราทำการประมาณเชิงเส้นตอนไหนบ้างในฟิสิกส์? คำตอบคือแทบทุกเวลา ตั้งแต่การเขียนแรงสปริงเป็น -kx (เชิงเส้นคือกำลังของ x เป็น 1) การหาอนุพันธ์ (หาการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชัน) อนุกรม Taylor (การประมาณที่ใช้มากกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) จนกระทั่ง perturbation theory ที่ใช้ในฟิสิกส์ทุกสาขา ถ้าเรามีปัญหาที่แก้ง่ายและปัญหาที่แก้ยาก บางทีมันอาจอยุ่”ใกล้”กัน เราก็ประมาณปัญหาที่แก้ยากเป็น Taylor expansion ใน parameter เล็กๆ(ที่บ่งบอกความใกล้) ของปัญหาที่ง่าย

วัตถุพื้นฐานในทฤษฎีควอนตัมคือเวกเตอร์(ที่มีความยาวหนึ่ง หรือจะเรียกว่าไม่สนความยาวก็ได้ แต่สุดท้ายมันต้องให้ผลทำนายเป็นความน่าจะเป็นที่ไม่เกินหนึ่ง; ดูหัวข้อความน่าจะเป็น) ที่แทนระบบทางฟิสิกส์ที่เราสนใจ การดำเนินไปของระบบในเวลาและการวัด”สมบัติ”ต่างๆเช่นตำแหน่งกลายเป็นแม ทริกซ์ซึ่งอาจมีขนาดอนันต์ (ดูหัวข้อแคลคูลัส) ความไม่แน่นอนของ Heisenberg ที่ทุกคนอาจจะเคยได้ยินก็มาจากสมบัติที่ว่าลำดับการคูณของแมทริกซ์มีผลต่อผล คูณ

ถ้าจะทำงาน quantum information theory ในความเห็นส่วนตัวคิดว่าเป็นวิชาเดียวที่ควรจะไปเรียนกับภาคคณิตศาสตร์เลย เพราะยิ่งรู้ linear algebra มากเท่าไรก็ยิ่งดี(ยกเว้นเรื่องแมทริกซ์ที่ diagonalize ไม่ได้กับ module) และมันง่ายพอ ไม่เหมือนคณิตศาสตร์ชั้นสูงอื่นๆที่ต้องใช้ในฟิสิกส์

11. ทฤษฎีกราฟ

12. ความน่าจะเป็น

ผลทำนายของทฤษฎีควอนตัมอยู่ในรูปของความน่าจะเป็น และทฤษฎีควอนตัมไม่สามารถลดรูปเป็นทฤษฎีคลาสสิคแบบกลศาสตร์ที่ไม่จำเป็นต้อง มีความน่าจะเป็นได้ แต่เราก็ใส่ไปได้เมื่อความน่าจะเป็นทำให้ปัญหาง่ายลง เป็นต้นกำเนิดของกลศาสตร์สถิติ

เป็นพื้นของทฤษฎีข้อมูล (information theory) แต่ก่อนวิศวกรไฟฟ้าหรือการสื่อสารจะเป็นกลุ่มคนที่เรียนเรื่องนี้ แต่เดี๋ยวนี้มี quantum information theory แล้ว นักฟิสิกส์บางกลุ่มก็เลยได้รู้ด้วย

เอาไว้ใช้ถ้าถูกเชิญไปเกมโชว์ของ Monty Hall

พูดจริงๆเป็นคณิตศาสตร์ที่คนทุกคนควรจะรู้นิดหน่อย อย่างน้อยก็เพื่อให้เข้าใจความหมายของโชค โอกาส และความเสี่ยง

13. สถิติ

14. ลำดับ อนุกรม

15. แคลคูลัส

แคลคูลัสของเวกเตอร์คือแคลคูลัสในหลายมิติ ก็จะมีอะไรคล้ายๆกับในหนึ่งมิติเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส(fundamental theorem of calculus) (ที่ให้ความสัมพันธ์ของ “ขอบกับอะไรที่อยู่ข้างใน” อย่างที่เอกยกตัวอย่างมาแล้ว) แต่เลือกหาอนุพันธ์กับอินติเกรตได้หลายทาง ใช้ในฟิสิกส์เสมอๆเพราะเรามักนิยามวัตถุที่มีประโยชน์เป็นฟังก์ชันที่รับจุด ต่างๆใน space และให้ตัวเลขหรือเวกเตอร์ออกมา เช่น สนามความร้อน สนามแม่เหล็กไฟฟ้า

สมการอนุพันธ์(เช่น กฎข้อที่สองของนิวตัน!)ส่วนมากเราเจอแต่แบบเชิงเส้น linear algebra ก็จะช่วยตรงนี้ ถ้าไม่เชิงเส้นก็ยัดโปรแกรมคอมพิวเตอร์เอา

การแปลงปริพันธ์ของ Fourier, Laplace, และอื่นๆ (ซึ่งเป็นการแปลงเชิงเส้น เหมือนเป็นแมทริกซ์ที่มีความกว้างยาวเป็นอนันต์) จำเป็นมาก ตรงนี้จำเป็นจะต้องใช้แคลคูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเมื่อหาวิธีอื่นอินติเกรตไม่ ได้แล้ว ประมาณว่าจากแคลคูลัสในหนึ่งมิติ เราก็อินติเกรตเลี่ยงเข้าไปใน complex plane แทน แล้วก็ใช้สมบัติของจำนวนจินตภาพ i ช่วยในการอินติเกรต อนุกรม Fourier กับการแปลง Fourier เกี่ยวกับสมมาตรในการเคลื่อนที่ เมื่อไหร่ที่เจอ plane wave ก็เกี่ยวกับเรื่องนี้ ตำแหน่งกับโมเมนตัมในกลศาสตร์ควอนตัมก็เป็นคู่การแปลง Fourier และถ้าอยากเข้าใจจริงๆว่ามันเกี่ยวกับสมมาตรยังไงก็ไป group representation theory อาจจะหลุดโลกไปหน่อย แต่การแปลง Fourier บน group ถูกใช้ใน quantum algorithm ด้วย

แนวทางต่อยอดเรื่องการอินติเกรตอีกอย่างคือเรื่อง distribution (generalized function) โผล่ในฟิสิกส์เยอะมาก เช่น Dirac delta distribution (นำไปสู่การแก้สมการอนุพันธ์ด้วย Green’s function) กับ Cauchy principal value (โผล่ในแคลคูลัสของจำนวนเชิงซ้อน เป็นการควบคุมผลการอินติเกรตไม่ให้เป็นอนันต์)

มี partial differential equation อีก แต่เราไม่ค่อยได้ใช้จริงจังสักเท่าไหร่ คือจะใช้เมื่อไหร่ก็เปิดหนังสือเอา

ป.ล. เพิ่งทำข้อสอบ take-home ข้อหนึ่งที่วิธีทำวิธีหนึ่งคือไปอ่านวิธีแก้ PDE แล้วเอามาใช้ แต่จะปิดเทอมแล้วขี้เกียจมากสรุปเลยไม่ได้ทำไป บอกไว้เผื่อใครบางคนไม่อยากเป็นแบบนี้ก็ไปลงเรียน PDE ซะ

Advertisements

About Ninnat Dangniam

นักเรียน, นักเขียน, นักวาด
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s