September

เราเคยคิดว่า PI นั้นเป็นสวรรค์ของนักควอนตัม ซึ่งก็คงจะจริงด้วยจำนวนของนักวิจัยในสาขานี้ที่นั่น แต่ก็ไม่แน่ว่าหลายๆที่ก็เป็นสวรรค์ได้และมันก็ขึ้นกับตัวเราด้วยว่าเราเข้ากับที่นั้นๆได้ดีแค่ไหน เราไม่รู้ว่า UNM เป็นสวรรค์ของนักควอนตัมได้หรือเปล่าแต่นั่นก็ไม่ใช่เรื่องที่จะมีเวลาไปคิดถึงเมื่อมีวิชาอย่าง quantum computation และ quantum information offer บ่อยๆ และ Carlton Caves ก็เคยทำงาน quantum foundations อยู่พักหนึ่ง

หลายคนคงไม่เคยได้ยินชื่อ Caves เราอ่านเจอชื่อเขาครั้งแรกในบทความที่เป็นที่รู้จักกันแพร่หลายใน Physics Today ของ Zurek เรื่อง quantum-classical transition (ในลิงค์เป็นฉบับ arXiv) ซึ่งเป็นความสนใจแรกๆของเราในฟิสิกส์ เปเปอร์ที่ถูกอ้างอิงถึงคือหนึ่งในซี่รี่ส์ของเปเปอร์ของ Caves ที่เกี่ยวกับการใช้การวัดเชิงควอนตัมตรวจจับคลื่นโน้มถ่วง Caves จึงถูกกล่าวถึงว่าเป็นทายาท(ทางวิชาการ)ของ John Wheeler ที่เชื่อมโยงเอาความสนใจสองอย่างของ Wheeler คือความโน้มถ่วงกับการวัดเชิงควอนตัมเข้าด้วยกัน

คงไม่มีนักเรียนฟิสิกส์ทฤษฎีคนไหนที่ไม่เคยเห็นตำราหนาระดับฟาดหัวคนตาย, Gravitation ของ Misner, Thorne และ Wheeler แต่ในขณะเดียวกัน Wheeler ก็ได้รับการยกย่องว่าเป็นคุณปู่ของ quantum information เพราะอะไรเหรอ? ตรงนี้บางคนอาจจะร้องอ๋อเพราะนึกได้ถึงหนังสือ Quantum Theory and Measurement โดย Wheeler และ Zurek หนังสือเล่มนั้นถือกำเนิดจากวิชาต้องห้าม(เพราะถ้าเก็บมันไปคิดมากเกินไปจะตกงานได้)ในสมัยนั้นที่ Wheeler ตัดสินใจเปิดสอนที่มหาวิทยาลัย Texas เมื่อปี 1977–วิชาการวัดเชิงควอนตัมซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้นักเรียนและนักฟิสิกส์ที่ให้ความสนใจเช่น Benjamin Schumacher, Wootters, Zurek, David Deutsch, Jeff Kimble (นักทดลองที่ Caltech ที่ van Enk ทำงานด้วย), Peres, และ Unruh1

ชื่อเสียงอีกอย่างของ Wheeler ที่ทำให้เรานับถือคือความเป็นอาจารย์และความเป็นมนุษย์ของเขาซึ่งจะปรับท่าทางคำชื้แนะตามลักษณะนิสัยของนักเรียน(รายละเอียดหาอ่านได้ใน Physics Today ฉบับพิเศษเกี่ยวกับ Wheeler ตัวอย่างหนึ่งคือตอนที่เขาเป็นอาจารย์ของ Feynman บางครั้งเขาพูดดูถูก Feynman ในขณะที่ปกติ Wheeler เป็นคนสุภาพมากเพราะ Feynman มีนิสัยหยิ่งยโสและเอาตัวเองเป็นใหญ่) และคำสอนซึ่งมีให้เห็นในตัวตำราและแบบฝึกหัดในหนังสือ Spacetime Physics ที่เขาแต่งร่วมกับ Edwin Taylor โดยเฉพาะ “อย่าเริ่มคำนวณก่อนจะรู้คำตอบ” คราวนี้ถึงตาเราและเพื่อนๆในห้องที่ถูกย้ำเตือนคำสอนนี้จาก Caves ซึ่งเป็นศิษย์ของ Kip Thorne ซึ่งเป็นศิษย์ของ Wheeler อีกที ครั้งหนึ่งเราเอาคำถามที่สงสัยเข้าไปถาม Caves ในออฟฟิซว่าเรื่องนี้ๆต้องมีวิธีคิดถึงมันที่ถูกต้องอย่างไรและได้คำตอบว่า “บางทีเราก็ควรจะเก็บวิธีคิดที่ผิดเอาไว้เพราะวิธีที่ถูกอาจจะผิดก็ได้” (ไม่ได้หมายความว่าวิธีที่ผิดจะกลายเป็นถูก แต่น่าจะหมายความในเชิงว่า “All models are wrong, but some are useful” ของ George Box มากกว่า) “อย่าเริ่มคำนวณก่อนจะรู้คำตอบ”

Never make a calculation until you know the answer.

ก็ฟังดูน่าสับสนเหมือนๆกันแต่มันหมายความว่าถ้าเราไม่เดาคำตอบก่อนจะทำโจทย์แล้ว เมื่อทำโจทย์เสร็จแล้วเราก็จะไม่รู้ว่าความเป็นนักฟิสิกส์ของเราได้ level up ขึ้นหรือเปล่าเพราะถ้าเราสามารถหาคำตอบได้แต่จากการคำนวณเราก็เป็นแค่นักคำนวณ(คอมพิวเตอร์)ไม่ใช่นักฟิสิกส์ นี่ทำให้เราพอใจกับ graduate school มากกว่า undergraduate เพราะเราไม่ต้องเป็นเครื่องจับโจทย์ยัดสูตร(เป็นส่วนมาก)อีกต่อไป ตามคำพูดของ Caves แล้ว ฟิสิกส์คือการเล่าเรื่อง ไม่ใช่การคำนวณ การบ้านและข้อสอบของเขาก็สนุกคล้ายๆเวลาพิสูจน์คณิตศาสตร์ ต้องคิดแล้วคิดอีกว่าวิธีประมาณของเราสมเหตุสมผลหรือเปล่า

(ถ้าไม่รู้จักอาจารย์ของ Caves ก็อาจจะรู้จักลูกศิษย์ของ Caves ก็ได้ หนึ่งในนั้นคือ Michael Nielsen ที่นักเรียนที่สนใจ quantum information ทุกคนต้องรู้จัก)

นักเรียนที่เข้าใหม่จะต้องลงวิชาสัมมนาพิเศษซึ่งไม่ต้องทำอะไรแค่ตื่นไปนั่งฟังอาจารย์ในภาควิชามาเล่าเรื่องงานวิจัยของตัวเองทุกเช้าวันศุกร์ Caves ได้พูดในสัมมนาถึงงานที่เขาทำกับนักเรียนคนหนึ่งของเขาเกี่ยวกับเครื่องขยายสัญญาณเชิงควอนตัม ตามกลศาสตร์ควอนตัมแล้วเราจะขยายสัญญาณโดยไม่เพิ่มสัญญาณรบกวนเข้าไปด้วยไม่ได้ทำให้เราต้องใช้เทคโนโลยี digital กันซึ่งเสถียรต่อสัญญาณรบกวนมากกว่า เหตุผลหนึ่งก็คือให้นึกถึง phase space ที่มีแกน p กับ x quantum states ที่เรามีอยู่ก็จะเป็นปื้นๆอยู่ใน phase space เพราะ uncertainty relation คราวนี้สมมติว่าเรามีสอง quantum states ที่ซ้อนทับกันอยู่ การขยายสัญญาณคือการขยับเอา state ที่เราต้องการขยายออกห่างจาก origin ไป ถ้าเราสามารถขยายสัญญาณโดยไม่ขยายปื้นได้ states ที่ indistinguishable ตอนแรกก็จะ distinguishable ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ unitary evolution รักษา inner product ให้คงเดิม สัญญาณรบกวนที่ว่าอยู่ในรูปของ operator b^{\dagger} ในหน้า Wikipedia ซึ่งต้องมีอยู่เพื่อให้ [A,A^{\dagger}]=[a,a^{\dagger}] (ซึ่งไปเหมือนกับ commutator ของ creation และ annihilation operators) (เขาจึงเขียนว่า noise=c^2-1) เพราะ unitary evolution รักษา commutator ให้คงเดิม สิ่งที่นักเรียนของเขาทำก็คือพิสูจน์หาการแจกแจงความน่าจะเป็นของสัญญาณรบกวนที่ทำให้ superoperator ที่ทำหน้าที่เป็นเครื่องขยายสัญญาณนั้น completely positive และเป็น legitimate quantum operation

ในสัมมนารายสัปดาห์ของกลุ่ม quantum information ครั้งหนึ่งก็มีนักเรียนของ Caves มานำเสนอเปเปอร์เกี่ยวกับการ classify entropic measures of non-classical correlation (รวมทั้ง quantum discord) ส่วนมาก nonlocality จะถูกนำเสนอพร้อมกับ entanglement (เช่นในการทดลอง EPR) แต่ correlation แปลกๆในควอนตัมไม่จำเป็นต้องมาจาก entanglement เสมอไป เช่น ในเปเปอร์ Quantum Nonlocality Without Entanglement ถ้าให้ Alice กับ Bob ถือสอง qutrits ที่ไม่ entangle กันแต่ไม่รู้ว่าอยู่ใน state ไหน, 9 orthogonal (product) states ของสอง qutrits จะไม่ orthogonal ถ้ามองจากมุมมองของ Alice หรือ Bob แยกกัน(ถึงแม้จะอนุญาตให้สองคนนี้คุยโทรศัพท์ถามไถ่กันได้) เท่าที่ฟังแล้วเงื่อนไขที่ entanglement จะให้ exponential speedup ของ algorithm ได้คือ entanglement จะต้องโตพร้อมๆไปกับขนาดของวงจร(ของ algorithm) ในอัตราหนึ่งแต่บางวงจรเช่น DQC1 เสนอโดย Knill และ Laflamme นั้น entanglement ไม่โตตามขนาดของวงจร แต่ก็ยังเร็วกว่า classical algorithms ในการแก้ปัญหาบางประเภท เปเปอร์ของนักเรียนของ Caves คนนี้เปรียบเทียบ(คือเขียนอสมการของ) entropic measures of non-classical correlation ต่างๆที่มาจากผลต่างของ classical entropies ต่างๆ (เช่น joint entropy และ mutual entropy) กับ quantum version ของ entropies ตัวนั้นๆ และเขาได้เสนอตัววัดใหม่ที่ “ยืมมือปีศาจ” demon-based measures ซึ่งจินตนาการว่ามีฝูงของ classical Maxwell demons กับ quantum Maxwell demon (เพียงหนึ่งตัว) แข่งกันทำงานโดยแปลง joint density operator ของสองระบบ A และ B ให้เป็น maximally mixed state ด้วยการวัดแล้วก็ลบความจำตัวเอง ได้ entropy ออกมา(เนื่องจาก Landauer’s principle) (ถ้าสงสัยว่าทำไมไปเกี่ยวกับการทำงานได้ให้นึกถึงว่า free energy A=U-TS ซึ่งเท่ากับงานที่ทำได้มากที่สุดเมื่ออุณหภูมิคงที่นั้นขึ้นอยู่กับ entropy ด้วย) แต่ปีศาจควอนตัมจะได้เปรียบกว่าเพราะสามารถวัดทั้งสองระบบพร้อมกันเหมือนเป็นระบบเดียวได้ ทำให้ความแตกต่างในงานที่ทำได้(ในหน่วย k_BTln2) เป็น-(S(A,B)-S(A)-S(B))=S(A)+S(B)-S(A,B)\ge 0 จากสมบัติ subadditivity ของ von Neumann entropy S (สมบัตินี้เหมือนกับของ Shannon entropy ความหมายของมันคือเราสามารถลดผลรวมของความไม่แน่นอนของสองระบบด้วย correlation ระหว่างระบบได้) และเขาก็ได้ทิ้งท้ายไว้ว่าเมื่อเรามี entropic measures เป็นสิบอันแล้วเราก็ควรจะหา operational meaning ของมันอย่างที่เขาให้กับ demon-based measures เพื่อที่จะให้เรามีไอเดียว่าจะเลือกใช้ตัววัดไหนจึงจะเหมาะสมกับสถานการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ได้

ในหนึ่งเดือนที่ผ่านมา quantum circuit และ stabilizer formalism (SF) ดูจะเป็นเครื่องมืออำนวยความสะดวกที่สำคัญในการคิดถึงกลศาสตร์ควอนตัม (Caves บอกว่า SF ใช้ทำความเข้าใจการทดลองทางควอนตัมได้ด้วย) ดังคำกล่าวของ Stephen Smale ว่า “Formula hampers the understanding.” เรารู้สึกว่าแผนภาพอย่างเช่น commutative diagram ที่นักพีชคณิตใช้อยู่ประจำนั้นเข้ากับการทำงานของสมองเรามากกว่าสมการ การใช้ notation ที่ฉลาดอย่าง Dirac notation หรือ quantum circuit ทำให้เราไม่จำเป็นต้องคิดถึงรายละเอียดพื้นฐานและสามารถให้ความสนใจกับเรื่องที่สำคัญมากกว่าได้อย่างเต็มที่ และเครื่องอำนวยความสะดวกที่ทำให้ keep track การคำนวณได้ง่ายขึ้นก็ไม่ได้ง่ายต่อสมองของมนุษย์อย่างเดียวแต่ยังง่ายต่อคอมพิวเตอร์ด้วยดังปรากฎในทฤษฎีบท Gottesman-Knill ว่าเราสามารถจำลอง stabilizer circuits บน classical computers ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไอเดียก็คือใน SFแทนที่เราจะพูดถึง quantum states เราไปพูดถึงเซ็ตของ operators ใน Pauli group on 1 qubit P_1 ที่มี intersection ของ invariant subspaces เป็น subspace spanned by state นั้นแทน สรุปสั้นๆก็คือ SF ให้ duality ของ state และ operator คราวนี้ stabilizer circuit คือวงจรที่ quantum gates มีแต่ Clifford groupC ซึ่งเป็น normalizer ของ P_1 (ภาษา group theory) หมายความว่าถ้า P,P'\in P_1, U\in C แล้ว UP=P'U ซึ่งในภาษาของ quantum circuit แปลว่าเราสามารถผลักสมาชิกของ P_1 จากด้านหนึ่งผ่านสมาชิกของ C ที่อยู่ติดกันบน quantum wire เดียวกันออกมาเป็นสมาชิกของ P_1 (ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเดิม)อีกด้านหนึ่งได้ เมื่อเรามี SF แล้วทั้งหมดนี้หมายความว่าอะไร? State เริ่มต้นถูกแปลงเป็น state ปลายทางด้วยการเดินผ่าน quantum circuit ใน SF เราใช้ operators ใน Pauli group แทน state เพราะฉะนั้นสิ่งที่เราต้องทำก็คือผลัก operators พวกนี้ผ่านวงจรซึ่งประกอบด้วย gate จาก C แทน ซึ่งผลสุดท้ายที่ออกมาก็จะเป็น operators ใน Pauli group อีกทำให้เราสามารถใช้ SF ในการอธิบาย time evolution ของ stabilizer circuit ได้ตลอด classical computer จึงสามารถที่จะจำลองวงจรนี้(ถึงแม้จะมี entanglement ในวงจรก็ตาม)ได้โดยการติดตามดูแค่ generators ของ Pauli subgroups ว่าเปลี่ยนไปอย่างไร ไม่ต้องดูสมาชิกทุกๆตัวของ Pauli subgroups และขนาดของเซ็ตของ generators นั้นโตตาม log ของขนาดของ group2 นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการจำลอง stabilizer circuit ถึงง่ายกว่าการจำลอง quantum circuits ทั่วๆไป

จะเห็นว่าเราพูดแต่ภาษามะนาวต่างดุ๊ดอะไรก็ไม่รู้ อันนี้เนื่องมาจากงานที่ยุ่งมาก ที่จริงก็มีเรื่องน่าสนใจอีกหลายเรื่องที่ไม่เกี่ยวกับฟิสิกส์แต่เราไม่มีเวลาไปคิดถึงมันสักเท่าไรก็เลยเขียนเกี่ยวกับแต่เรื่องที่คิดอยู่แบบรีบๆหน่อย อย่างไรก็ตามเราหวังว่าโพสท์นี้จะสื่อได้ถึงประเด็นสำคัญ 4 เรื่องใหญ่ๆคือ 1.คุณลักษณะประการหนึ่งของครูผู้สร้างแรงบันดาลใจคือความเป็นมนุษย์ 2. การขยายสัญญาณมีขีดจำกัดที่มาจากกลศาสตร์ควอนตัม 3. ความแปลกของควอนตัมไม่ได้มาจาก entanglement เพียงอย่างเดียวและ 4. ความขี้เกียจอย่างฉลาดเป็นธรรม(virtue)

1. Physics Today ฉบับพิเศษเดือนเมษายน 2009 หลังจาก Wheeler เสียชีวิตหนึ่งปี

2. Appendix เรื่อง group theory ใน Nielsen and Chuang

Advertisements

About Ninnat Dangniam

นักเรียน, นักเขียน, นักวาด
This entry was posted in Quantum. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s