Simple Bell’s Inequalities

    Bell’s inequalities คือชุดของอสมการที่มาจากสมมติฐานที่”สมเหตุสมผล”เช่น ของสองสิ่งไม่สามารถส่งผลซึ่งกันและกันได้หากมันไม่ได้ถูกจับมา interact กัน และ ผลการวัดที่ได้คือสิ่งที่ระบบที่เราวัดมีอยู่แล้วก่อนที่เราจะวัด หรือถ้าจะพูดให้รวบรัดก็คือมันกำหนดขีดจำกัดของ local realistic(objective) theories แต่ระบบที่เป็นไปตามทฤษฎีควอนตัมสามารถขัดแย้งกับ Bell’s inequalities ได้ ซึ่งในโพสท์นี้จะไม่พูดถึงควอนตัมแต่จะมาดูวิธีคิดแบบหนึ่งซึ่งนำไปสู่อสมการดั้งเดิมของ Bell

|\langle ab\rangle -\langle ac\rangle|\le 1-\langle bc\rangle

โดย \langle \rangle คือ expected value ตรงนี้เขียนอสมการให้ได้เห็นเฉยๆเผื่อถ้าคุ้นหน้าคุ้นตาจะได้นึกออก ความหมายของตัวแปรแต่ละตัวที่มีค่าได้แค่ 1 หรือ -1 จะโผล่มาในภายหลัง แต่เรื่องของเรื่องคือเวลาเราหาอ่านตามหนังสือมันดูเหมือนจะเป็นแค่การเอาเลขมาเรียงๆกันตามใจชอบซึ่งก็สามารถทดสอบโดยแทนค่าตัวแปรดูได้ว่ามันไม่เกินค่าสูงสุดในอสมการแต่ไม่รู้ว่ามันมาจากไหน หรือถ้าอ่าน derivation จากเปเปอร์ของ Bell เลยมันก็จะมีการอินติเกรตครอบค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ของตัวแปรซ่อนเร้นทำให้เรื่องมากเข้าไปอีก

    ขั้นแรกนั้นอสมการแรกเป็นกรณีพิเศษของอสมการ CHSH (จะย้อนกลับมาตรงจุดนี้ภายหลัง)

|\langle ab\rangle +\langle cb\rangle +\langle cd\rangle -\langle ad\rangle|\le 2

ตรรกะของอสมการ CHSH[1] คือให้นึกถึงเกมที่ชนะได้แต่ไม่ 100% ถ้าคิดเสียว่ามีเป้าหมายในใจคือการทดสอบทฤษฎีควอนตัม เกมนั้นก็น่าจะเป็นเกมที่เกี่ยวกับ correlation ตาม spirit ของ EPR 

• Alice กับ Bob ยืนรออนุภาคที่ถูกปล่อยมาจากแหล่งเดียวกัน แต่ผู้เล่นไม่ใช่ Alice และ Bob ผู้เล่นคืออนุภาคทั้งสอง!

• Alice และ Bob นั้นมีเครื่องตรวจจับและวัดคุณสมบัติของอนุภาคนี้

• เพื่อความง่ายให้เครื่องวัดของ Alice และ Bob มีสองตัวเลือก 0 และ 1 ในการวัด

• สมมติให้ผลของการวัดมีได้แค่สองค่าคือแดงหรือเขียว (เป็นการ generalize อสมการ CHSH โดยที่ไม่ต้องไปใส่กำหนดตัวเลขแทนค่าอย่างเช่น \pm 1 ให้กับผลการทดลอง)

• เรายังไม่ได้ตั้งกฎว่าทำอย่างไรจึงจะชนะ หลักการคือเราต้องการ correlation มากที่สุด correlation=ชนะ และการที่อนุภาคจะมี correlation กันโดยไม่ต้องสื่อสารเกินความเร็วของแสงมีทางเดียวที่เป็นไปได้คืออนุภาคทั้งสองที่เดินทางไปหา Alice และ Bob ก่อนแยกทางกันจะต้องวางแผนกันไว้ล่วงหน้า เราสามารถตั้งกฎได้ว่าหาก Alice และ Bob ตั้งเครื่องวัดไว้ในสถานะ 0 ทั้งคู่ ผลที่ได้ต้องเหมือนกัน (แดงแดง หรือ เขียวเขียว) หากตั้งเครื่องวัด 10,11 (แดงเขียว หรือ เขียวแดง) ผลที่ได้ก็ต้องเหมือนกันเช่นกัน ที่ผ่านมานี่เรามีอิสระเต็มที่แต่ถ้าจะให้เกมนี้เป็นเกมที่ชนะไม่ได้ตลอด เงื่อนไขการชนะในสถานการณ์สุดท้ายที่เหลืออยู่, ในกรณีคือ 01, จะต้องขัดกับ constraint ของ local reality คือการวางแผนของอนุภาคตกลงค่าที่จะบอกเครื่องวัดกันไว้ก่อนในขณะที่ยัง interact กัน

ถ้าคิดในมุมมองของอนุภาค เงื่อนไขแรก ถ้า 0 ทั้งคู่ต้องให้ค่าเหมือนกัน ถ้าอนุภาคแรกตอบแดงอีกอันก็ต้องตอบแดงถ้าตอบเขียวอีกอันก็ตอบเขียว ถ้าสมมติว่าตอบแดงในกรณี 10 เพื่อให้ได้ผลที่สอดคล้องกันอนุภาคแรกก็ต้องตอบแดงเมื่อเครื่องวัดของ Alice อยู่ในสถานะ 1 จากนั้นในกรณี 11 อนุภาคที่สองก็ต้องตอบแดงเมื่อเครื่องวัดของ Bob อยู่ในสถานะ 1 มาถึงตรงนี้ก็รู้แล้วว่าในกรณีสุดท้ายเราจะขอเรื่องที่เป็นไปไม่ได้อย่างไร ก็ตั้งกฎว่าผลการทดลองในกรณี 01 ต้องตรงข้ามกันจึงจะชนะ ถ้าตั้งกฎแบบนี้ไม่ว่าจะอนุภาคจะเริ่มพิจารณากรณีใดก่อน ก็จะพลาดในกรณีสุดท้ายเสมอ การวางแผนของอนุภาคแบบนี้เรียกว่า classical strategies ในกรณีนี้มี 16 กลยุทธมาจากว่าการจัดเรียงสีแดงและเขียวของ Alice และ Bob มีกันคนละ 4 แบบ ถ้าลองเขียนกลยุทธทั้ง 16 แบบดูก็จะเห็นว่ายังไงๆเกมนี้ก็เล่นชนะได้แค่ 3 ใน 4 กรณี เมื่อเราไม่สามารถรู้ล่วงหน้าได้ว่าเครื่องวัดจะอยู่ในสถานะไหนอย่างดีที่สุดเราก็ชนะเกมนี้ได้ด้วยความน่าจะเป็น 3/4 และนี่ก็คืออสมการ CHSH!

P_{win}\le \frac{3}{4}

    มาดูกันว่ามันเป็นไปได้อย่างไร ถึงตรงนี้เราต้องให้ค่าตัวเลขอะไรสักอย่างกับผลการทดลองคือ \pm 1 แทนแดงและเขียว, a คือ Alice ตั้งค่า 0, b คือ Bob ตั้งค่า 0, c คือ Alice ตั้งค่า 1 และ d คือ Bob ตั้งค่า 1 

ความน่าจะเป็นที่จะชนะ P_w มาจากการเฉลี่ยความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีการตั้งเครื่องวัดทุกกรณี 

P_w=\frac{1}{4}[P_w(a,b)+P_w(c,b)+P_w(c,d)+P_w(a,d)]\le \frac{3}{4}

ในสามพจน์แรก, P_w=P(RR)+P(GG) คือความน่าจะเป็นที่จะได้แดงแดงและเขียวเขียวรวมกัน ยกเว้นพจน์สุดท้ายที่จะต้องเป็น P(RG)+P(GR) เราสามารถแยกแยะ correlation กับ anticorrelation โดยใช้(expected value ของ)ผลคูณของตัวแปรเหล่านี้ได้ ถ้าผลการทดลอง correlate กัน ผลคูณก็จะเป็น 1 เสมอเพราะ (-1)(-1)=1 ถ้า anticorrelate ก็จะได้ -1 เสมอ คราวนี้ก็พยายามเขียน P_w ในรูปของ expected value

\langle ab \rangle =P(RR)+P(GG)-P(RG)-P(GR)=2P_w(a,b)-1

P_w(a,b)=\frac{\langle ab\rangle +1}{2}

ในกรณี bc และ ac ก็จะได้ความสัมพันธ์แบบนี้เช่นกัน แต่พจน์ ad จะได้ว่า

P_w(a,d)=\frac{1-\langle ad\rangle}{2}

ดังนั้น

\frac{1}{4}[\frac{\langle ab\rangle +1}{2}+\frac{\langle cb\rangle +1}{2}+\frac{\langle cd\rangle +1}{2}+\frac{1-\langle ad\rangle}{2}]\le \frac{3}{4}

ซึ่งถ้าจัดรูปและใช้ P_w\ge \frac{1}{4} ก็จะได้อสมการ CHSH ข้างต้น และหากใช้ triangle inequality ก็จะแสดงว่าอสมการของ Bell เป็นกรณีพิเศษของอสมการ CHSH ได้

คอมเมนต์

1. derivation ของอสมการ CHSH จากความน่าจะเป็นแบบนี้ทำให้เห็นฟิสิกส์ของมันชัดเจนว่าเกี่ยวข้องกับ local realism อย่างไร และยังได้ upper bound ของความน่าจะเป็นคือ 1 มาโดยธรรมชาติ ปรากฎว่า correlation ของทฤษฎีควอนตัมนั้นทำให้ P_w\le \frac{2+\sqrt{2}}{4} (อสมการของ Tsirelson) ถ้าหาก P_w\le 1 correlation นั้นมีคนศึกษา(ก็อาจารย์นั่นแหละ)และเรียกว่า post-quantum correlation ซึ่งก็ยังไม่สามารถใช้ส่งสัญญาณเร็วกว่าแสงได้เพราะเหตุผลเดิมคือ randomness ของผลการทดลองแต่ทำให้ปัญหา communication complexity กลายเป็น trivial ไปได้ เรื่องนี้เราฟังมาแค่จากเลกเชอร์ 20 นาทีแต่ถ้าอยากอ่านหรือว่างๆก็อาจจะเขียนให้อ่าน

2. CHSH เป็นกรณีทั่วไปของสองอนุภาคสองตัวเลือกบนเครื่องมือวัดแล้วแต่ก็ไม่ได้มีอะไรมาห้ามคิดถึงกรณีที่หลากหลายกว่านี้ 

3. อสมการของ Bell เป็นกรณีพิเศษของอสมการ CHSH ที่เหลือสามตัวแปร(ถึงเวลาพิสูจน์จะต้องเริ่มจาก Bell ก่อน) เหตุผลทางฟิสิกส์และประวัติศาสตร์นั้นถ้ามีโอกาสจะมาเขียนเพิ่มเติม วันนี้ขอลาไปก่อนเพราะเราก็ยังงงอยู่ ต้องอ่านเปเปอร์นั้นของ Bell ต่ออีกหน่อย

[1] จากเลกเชอร์และการคุยกับอาจารย์

Advertisements

About Ninnat Dangniam

นักเรียน, นักเขียน, นักวาด
This entry was posted in Quantum. Bookmark the permalink.

One Response to Simple Bell’s Inequalities

  1. Pingback: A No-Nonsense Introduction to Quantum Theory ตอนที่ 0 | A Diary

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s