Bell, Poincaré, Shannon, and the Talks at University of Oregon 11/07/08

จะพยายามเขียนให้สั้นที่สุดเพราะควรจะเอาเวลาไปทำอย่างอื่นต่อ ช่วงหลายสัปดาห์ที่ผ่านมามีเรื่องแปลกคือมีคนมาบรรยายเรื่องที่น่าสนใจมากหลายเรื่องเกินไป ซึ่งไม่ค่อยจะเกิดนัก ทำให้รู้สึกเหมือนเราจะสนใจคณิตศาสตร์มากกว่าพวกกลศาสตร์ (เช่น Fluid mechanics, Biomechanics หรือพวก Soft matter) (อันนี้เปรียบเทียบกันแค่สองอย่าง ไม่ได้หมายความว่าสนใจคณิตศาสตร์มากกว่าฟิสิกส์)

——————————————————————————–

    Steven van Enk อาจารย์สอนควอนตัม (จบ Theoretical optics) บรรยายเรื่อง entanglement ซึ่งตอนแรกนึกว่าจะพูดถึง Bell type inequality แต่กลับเป็นนิยามของ entanglement ในทางปฏิบัติมากกว่า(อาจจะคล้ายๆ protocol) ไม่รู้เรื่องเท่าไรตามปกติ แต่ก็ได้เห็นว่าเขาทำอะไรกัน

   ในคาบควอนตัมก็พูดนอกเรื่องเยอะดี เช่น Tunneling microscope, Josephson junction, Quantum cryptography นอกจากพวกนั้นแล้วก็สอนดีด้วย

   เท่านี้ยังไม่ค่อยได้อะไรเท่าไร

   ที่จริงก็อยากเขียนเรื่อง entanglement เผื่อคนสนใจ แต่จริงๆจะหาอ่าน “Bell’s inequality” ตามเวบก็ได้เพราะใช้แค่พีชคณิตกับความน่าจะเป็นธรรมดา

——————————————————————————–

   เมื่อวันอังคารที่ผ่านมา Daniel A. Steck เคยมีบทความใน New Scientist ลงเกี่ยวกับคนนี้เรื่อง Maxwell’s demon ก็คือเขาทำงานพวกประมาณ optical trap cooled atom ใช้เลเซอร์ควบคุมอะตอมอะไรพวกนี้ บรรยายให้ undergrad ฟังเรื่อง Quantum chaos ก็รู้สึกว่าพูดเคลียร์แล้วก็ทำให้เราได้อะไรเยอะเหมือนกัน จะขอเล่าคร่าวๆเรื่องที่เขาบรรยายบวกกับคอมเมนต์ของเราให้ฟัง

   ถ้าพูดถึง chaos แล้วในยุค modern ก็ต้องนึกถึง Edward Lorentz ที่พยายามทำนายสภาพอากาศ(เป็นจุดเริ่มต้นของการพยากรณ์อากาศ แล้วก็ทำให้เรารู้ว่าทำไมเราถึงพยากรณ์อากาศในอนาคตที่ห่างออกไปมากนักไม่ได้) โดยใช้คอมพิวเตอร์ โดยโมเดลให้มีชั้นบรรยากาศที่มีอุณหภูมิต่างกันแล้วก็จะเกิดเป็น heat convection etc. etc. ผลปรากฎว่าเมื่อใช้โปรแกรมตัวเดียวกัน รันโปรแกรมด้วยค่าเริ่มต้นที่เท่ากัน ในคอใพิวเตอร์คนละชนิด/บริษัทกัน กลับให้ผลที่ต่างกันมากขึ้นๆเรื่อยๆเมื่อเวลาในซิมูเลชันผ่านไปนานขึ้น ซึ่งสร้างความพิศวงแก่ Lorentz เป็นอย่างมาก 

ลักษณะเฉพาะของ chaos ที่สำคัญบางข้อคือ

   1. exponential instability ถ้ามีสองระบบที่เหมือนกันแต่เกิดค่าเริ่มต้นไม่เหมือนกันเป๊ะๆแล้วยิ่งเวลาผ่านไปนานขึ้น time evolution ของสองระบบก็จะยิ่งแตกต่างกันมากขึ้น ซึ่งความแตกต่างในค่าเริ่มต้นของซิมูเลชันของ Lorentz ก็คือ ตัวเลขที่เขาใส่ไปในคอมพิวเตอร์ที่มีระบบต่างกันถูกปัดเศษด้วยวิธีที่ต่างกันทำให้ค่าเริ่มต้นที่โปรแกรมได้รับไม่เหมือนกัน

   2. deterministic แต่จริงๆแล้วสถาวะของระบบในอนาคตสามารถทำนายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยความรู้ของสภาวะของระบบที่มีอยู่ในปัจจุบัน เพียงแต่ว่าเราไม่สามารถให้ค่าเริ่มต้นที่ถูกต้องได้ถึงทศนิยมลำดับที่อนันต์ได้ ก็คือกับระบบที่ chaotic เราไม่สามารถล่วงรู้อนาคตได้ในระดับ epistemological

   3. system should be bounded เพราะถ้าเป็น free particle มันจะวิ่งไปไหนก็ได้ตามใจมัน

   แต่แนวคิดเรื่องนี้กำเนิดมาเมื่อยุคก่อนหน้านี้นานแล้วโดย Poincaré กับคำถามที่มีเงินรางวัลว่าระบบสุริยะนั้นเสถียรหรือไม่ ซึ่ง Poincaré ก็พิสูจน์ยาวมากเป็นร้อยหน้ามั้งว่าเสถียรแล้วก็ได้รางวัลไป แต่ภายหลังมาพบว่าการพิสูจน์มีข้อผิดพลาด คนที่จะเอาบทความนี้ไปตีพิมพ์ก็เลยมาจิกหัว Poincaré ให้ไปแก้เสีย แต่ผลสุดท้ายที่น่าตกใจที่ Poincaré ค้นพบจากการพยายามพิสูจน์ให้ถูกก็คือว่ามันไม่ถูก! ระบบสุริยะไม่ได้เสถียรไปตลอดชั่วกาลนาน

Henri Poincaré:

“…it may happen that small differences in the initial conditions produce very great ones in the final phenomena. A small error in the former will produce an enormous error in the latter. Prediction becomes impossible, and we have the fortuitous phenomenon.”

(จากสไลด์อาจารย์)

แต่เราก็ยังโชคดีที่มีสิ่งที่เรียกว่า Shadowing ซึ่งบอกเราว่า(ถ้าเข้าใจที่ฟังถูก)ถ้าเรามีวิถี(trajectory)ของระบบที่คำนวณออกมาแล้ว จะต้องมีวิถีของระบบสักวิถีที่อยู่ใกล้มากๆกับวิถีที่เราคำนวณได้ ทำให้เรารู้ว่าการพยายามทำนายระบบที่ chaotic ไม่ได้ไร้ประโยชน์

   ระบบที่ chaotic นั้นก็น่าจะเดาได้ว่าพบได้ทุกหนทุกแห่งมากมายกว่าระบบที่ไม่ chaotic (หรือ linear ก็คือ input เท่าไร output ก็ออกมาเป็นอัตราส่วนกับ input ที่ให้ไป outputs จากค่า inputs ที่ใกล้เคียงกันจะไม่ห่างกันออกไปมาก ระบบที่ไม่ chaotic ไม่ใช่ linear เสียทีเดียว แต่นี่ก็เป็นการคอนเซปท์ที่ใช้ได้สำหรับคนที่ไม่รู้เรื่อง linear, nonlinear มาก่อน) แต่มากกว่าขนาดไหนเหรอ เราก็เพิ่งรู้จากการฟังบรรยายครั้งนี้ ถ้าจะให้มีระบบที่ไม่ chaotic ระบบนั้นจะต้อง “integrable” แปลประมาณว่า solvable เราสามารถศึกษาและเข้าใจระบบนั้นได้อย่างดี เงื่อนไขก็คล้ายๆกับว่าระบบสมการที่มี n ตัวแปรจะแก้ได้ก็ต่อเมื่อมี n สมการ (ที่เป็นอิสระต่อกัน)

For an n degree-of-freedom system, n independent symmetries implies “integrability”

    ระบบจะต้องมีสมมาตรพอ เราถึงจะแก้ระบบนั้นนั้นได้ สมมาตรในที่นี้ก็คือคุณสมบัติบางอย่างของระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราทำการเปลี่ยนแปลงระบบ เช่น ถ้าเราหมุนสี่เหลี่ยมจตุรัสด้วยองศาที่เป็นจำนวนเท่าของ Pi/2 พิกัดของมุมทั้งสี่ก็จะไม่เปลี่ยน ในฟิสิกส์เรามี Noether’s theorem ที่การันตีว่าการมีสมมาตรเท่ากับการมีปริมาณที่อนุรักษ์ เพราะฉะนั้นระบบใน 1 มิติ (มี 1 degree of freedom คือตำแหน่งในหนึ่งมิติ) ทุกระบบสามารถแก้ได้หมด เพราะอย่างน้อยเราก็มีกฎอนุรักษ์พลังงานอยู่ ถ้าเป็นระบบในสามมิติก็ต้องอาศัยอย่างอื่นเช่น กฎอนุรักษ์โมเมนตัม หรือ โมเมนตัมเชิงมุม แล้วแน่นอนว่าเราสามารถคิดถึงระบบอะไรได้มากมายที่มันจะไม่อนุรักษ์ปริมาณพวกนี้ เช่น ระบบเปิด แล้วก็ประมาณได้ว่าทุกระบบในธรรมชาติมันก็เป็นระบบเปิดหมด

    คราวนี้มาดูในกลศาสตร์ควอนตัมกันบ้าง เราก็เรียกเจ้าพวกที่อนุรักษ์นี่ว่า quantum number แทน ถ้าจำโมเดล particle in a box ตอนฟิสิกส์ปี 1 ได้ อนุภาคควอนตัมในบ่อศักย์อนันต์จะมีระดับพลังงานที่เป็นชั้นๆไม่ต่อเนื่อง จะมีพลังงานเท่าไรก็ขึ้นอยู่กับจำนวนเต็มค่าหนึ่งที่เราเลือกได้ พอเราเลือกแล้วก็เท่ากับเราเลือกระดับพลังงานค่าหนึ่งๆ แล้วถ้าเราไม่ทำอะไรแปลกๆกับระบบ พลังานมันก็จะอยู่อย่างนั้นตลอดไป ก็คืออนุรักษ์พลังงานดีๆนั่นเอง แตเลขจำนวนเต็มตัวนี้เราเรียกเป็น quantum number แทน ในระบบควอนตัมอื่นๆก็จะมี quantum number อื่นๆ แล้วถ้ามันมีพอๆ กับจำนวน degrees of freedom เราก็จะสามารถแก้ระบบนั้นได้ และเราก็มีระบบที่น่าจะ chaotic ในทำนองเดียวกับกลศาสตร์คลาสสิก

    แต่ความจริงกลับกลายเป็นว่า ถึงแม้ symmetry จะไม่พอเราก็ไม่เห็น chaos ในระบบควอนตัม! ในการบรรยายมีรูปการทดลอง quantum billiard ball (Chaotic billiard eigenstates: scarring along unstable classical periodic orbits Heller, 1984) ที่น่าสนใจมาก เพราะว่าเราต้องมีระบบที่ bounded ในที่นี้ก็ให้เป็นเหมือนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่หัวท้ายมนเป็นครึ่งวงกลมซึ่งสำหรับอนุภาคคลาสสิกถ้าเราปล่อยให้มันสิ่งเร็วๆไปจะเด้งไปชนขอบไปขอบมามั่วๆ คงนึกภาพออก แต่สำหรับอนุภาคควอนตัมถ้าเราเข้าใจถูก เพราะเป็นระบบที่ bounded boundary conditions จึงทำให้ wave function แทรกสอดกันจนวิถีของอนุภาคเหมือนกับวิถีของอนุภาคคลาสสิกที่อยู่ใน unstable equilibrium เป๊ะๆ ก็คือมันจะไม่ออกไปจาก unstable equilibrium เลยแล้วก็วิ่งกลับไปกลับมาในเส้นทางนั้นซ้ำๆ

   อีกอย่างหนึ่งที่น่าสนใจก็คือการทดลอง kicked rotor ก็คือให้ศักย์เรียบๆที่อนุภาคคลาสสิกอาศัยอยู่มีศักย์แหลมๆพุ่งขึ้นมาแล้วก็หดกลับเข้าไปในช่วงระยะเวลาสั้นๆด้วยความถี่คงที่ ซึ่งอนุภาคก็จะถูกเตะไปเตะมา พลังงานศักย์จะแปรผันตรงกับเวลาที่ผ่านไป อนุภาคก็จะมีพลังงานจลน์มากขึ้นเรื่อยๆแล้วก็วิ่งไปวิ่งมาดูมั่วๆมากขึ้น ซึ่งวิถีของอนุภาคขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นแบบ chaotic เช่นเดียวกัน ซึ่งเมื่อทำกับอนุภาคควอนตัมเพราะว่ามีการแทรกสอดของ wave function ทำให้พลังงานที่อนุภาครับเข้าไปได้มีค่าสูงสุดแค่ค่าหนึ่งแล้วจากนั้นมันก็ไม่เพิ่มพลังงานจลน์ต่อ (ไม่รู้รายละเอียดว่าจริงๆมันเกิดขึ้นได้ยังไง) แต่ที่น่าสนใจก็คือถ้ารันซิมูเลชันนี้ย้อนหลัง(ในคอมพิวเตอร์) ระบบคลาสสิกแทนที่อนุภาคจะถูกดึงพลงงานจลน์ออกจนหมด กลับถูกดึงพลังงานจลน์ออกจำนวนหนึ่งแล้วพลังงานจลน์ก็เพิ่มต่อ ซึ่งเขาอธิบายว่าเพราะความผิดพลาดการปัดทศนิยมเช่นเคยทำให้คอมพิวเตอร์ “ลืม” ว่ามันกำลังทำการทดลองกลับหลังอยู่ ในขณะที่ซิมูเลชันของอนุภาคควอนตัมไม่มีปัญหา กลับมามีพลังงานจลน์เป็นศูนย์ได้เหมือนเดิม

    การบรรยายปิดท้ายที่ว่าเราจะคง Correspondence principle ที่ว่ากลศาสตร์ควอนตัมให้ผลที่เหมือนกันกับกลศาสตร์คลาสสิกในลิมิตลิมิตหนึ่งได้อย่างไร ซึ่งแน่นอนว่าทิศทางของงานวิจัยส่วนใหญ่ในตอนนี้ก็ให้ความสำคัญกับ “Decoherence” พูดง่ายๆเท่าที่เข้าใจก็คือกลศาสตร์คลาสสิกที่เราเห็นได้ในชีวิตประจำวันอธิบายได้ด้วยสมการ Schrodinger ของระบบบวกกับทุกๆองค์ประกอบของสิ่งแวดล้อม 

——————————————————————————–

   ส่วนวันนี้ไปฟังบรรยายโดย John Seo ซึ่งจบไบโอฟิสิกส์แต่เพราะปัญหาด้านการเงินจึงได้ไปแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ในเศรษฐศาสตร์

http://en.oreilly.com/money2008/public/schedule/detail/219

http://www.nytimes.com/2007/08/26/magazine/26neworleans-t.html?ex=1345780800&en=c254334073d350b0&ei=5090&partner=rssuserland&emc=rss

    เสียอย่างเดียวแค่ว่าฟังไม่รู้เรื่อง เขาพูดถึงการแก้ปัญหาทางเศรษฐศาสตร์ที่เขาแก้ได้เป็นคนแรกมั้ง ด้วย Information theory (โดย Claude Shannon) แล้วก็คณิตศาสตร์บริสุทธิ์พื้นฐาน เช่น ความน่าจะเป็น พูดถึงการมองปัญหาเศรษฐศาสตร์ในมุมมองของโจทย์ต่างๆ เช่น การพนัน ปัญหาพ่อค้าเดินทาง อะไรต่างๆนาๆ โดยเฉพาะงานของ Fibonacci, Fermat, Pascal และ Shannon ถ้าฟังรู้เรื่องจะเป็นประสบการณ์ที่ดีสุดๆเพราะเขาบอกว่าเขาดีใจที่ได้มีโอากาสมาบรรยายผลงานของเขาให้นักวิทยาศาสตร์ฟัง นี่เป็นการบรรยายอย่างเป็นทางการแบบนี้ครั้งแรก เพราะนักเศรษฐศาสตร์ที่เขาเคยคุยด้วยไม่ยอมรับว่าโจทย์ทางการลงทุนจะถูกลดลงเหลือเป็นโจทย์ทางการพนันได้ และเขาก็เลยไม่เคยตีพิมพ์งานนี้เลยเพราะว่าต้านกระแสหลักของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ไม่ได้ จึงถือว่านี่เป็นการบรรยายครั้งนี้เป็นเรื่องที่ใหม่มากๆ แต่ถึงเราจะไม่เข้าใจนี่ก็เป็นประสบการณ์ที่มีค่ามากแล้ว เพราะช่วงถามคำถามอาจารย์ฟิสิกส์ปีก่อนของเราได้ถามว่ามันเกี่ยวข้องกับการที่เรารับรู้อะไรเป็น logarithm หรือเปล่า ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเห็นดาวบนท้องฟ้าพันดวง ความรู้สึกของเราจะไม่ใช่ว่าเราเห็นดาว 10 เท่าของ 100 แต่จะรู้สึกใน logarithm scale ซึ่งเขาก็เห็นด้วยและที่สำคัญที่สุดเขาบอกว่ามันก็สามารถมองแบบนั้นจาก paper ของ Shannon ได้แล้ว! จริงๆแล้วตอนที่เพิ่งมาที่ U of O นี่ควานหาวิชา Information theory ใหญ่เลยจนพบว่ามันไม่มี colloquium ครั้งนี้ทำให้เรากลับมาสนใจใน Information theory อีกครั้ง

“I’ve always thought theoretical physics was the best training for applying mathematical techniques to real world problems… Some places where physics training can be somewhat weak (or at least uneven) include statistics, computation, optimization and information theory, but I’ve never known a theorist who couldn’t pick those things up quickly.”

Steve Hsu (ที่ U of O นี่เอง)

Advertisements

About Ninnat Dangniam

นักเรียน, นักเขียน, นักวาด
This entry was posted in Quantum. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s